向量和矩阵

矩阵和向量

矩阵和向量的定义

矩阵是二维数组

$\begin{bmatrix} a & b & c \newline d & e & f \newline g & h & i \newline j & k & l\end{bmatrix}$

向量是只有一列多行的矩阵

$\begin{bmatrix} w \newline x \newline y \newline z \end{bmatrix}$

矩阵和向量表示方法

$A{ij}$表示矩阵中第i行，第j列的元素。例：$A{23}$是f
一个具有n行的向量被称为n维向量
$v_i$表示向量中第i行的元素
通常矩阵和向量的索引都是从1开始的(1-indexed）,也有一些特殊的是从0开始(0-indexed)
矩阵一般用大写字母表示，向量一般用小写字母表示

矩阵的算术运算

加法运算

$\begin{bmatrix} a & b \newline c & d \newline \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} w & x \newline y & z \newline \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a+w & b+x \newline c+y & d+z \newline \end{bmatrix}$

scalar乘法运算

scalar标量，标量的集合意义就是做伸缩

$\begin{bmatrix} a & b \newline c & d \newline \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} w & x \newline y & z \newline \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a+w & b+x \newline c+y & d+z \newline \end{bmatrix}$

矩阵*向量运算

$\begin{bmatrix} a & b \newline c & d \newline e & f \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x \newline y \newline \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a*x + b*y \newline c*x + d*y \newline e*x + f*y\end{bmatrix}$

矩阵*矩阵运算

矩阵乘法的特性：不具备乘法交换律，不具备乘法组合律。

$\begin{bmatrix} a & b \newline c & d \newline e & f \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} w & x \newline y & z \newline \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a*w + b*y & a*x + b*z \newline c*w + d*y & c*x + d*z \newline e*w + f*y & e*x + f*z\end{bmatrix}$